LimpideOUTILS · EXERCICES VÉRIFIÉS

Les identités remarquables.

Trois formules apprises par cœur. Une figure pour chacune, et l'on n'a plus besoin du par-cœur.

S'EXERCERUn exercice sur les identités

Un carré parfait ; l'outil choisit la graine.

IDENTITÉ 1 · CARRÉ D'UNE SOMMEPIÈGE · (a + b)² ≠ a² + b²
1 / 3

Le carré d'une somme :

(a+b)2=a2+2ab+b2{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
FIGURE · UN CARRÉ DE CÔTÉ a + bQuatre aires, quatre termes.
Un carré de côté a + b, découpé en un carré a², un carré b² et deux rectangles ab.a²ababb²abab

POURQUOI C'EST VRAI

  1. Lire la figure : le grand carré est la somme des quatre aires.

    (a+b)2=a2+ab+ab+b2{(a + b)}^{2} = a^{2} + ab + ab + b^{2}

  2. Ou développer, en distribuant chaque terme de la première parenthèse :

    (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2{(a + b)}{(a + b)} = a^{2} + ab + ba + b^{2}

  3. Les deux produits croisés sont égaux : on les regroupe.

    (a+b)2=a2+2ab+b2{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

    Le piège : (a + b)² ≠ a² + b². Les deux rectangles ab de la figure sont exactement ce que l'erreur oublie.

  4. Lire à l'envers, pour factoriser : deux carrés, a² et b², et au milieu le double produit de a et b, 2ab, précédé d'un plus ou d'un moins ; ce signe est celui de la parenthèse. Dans x² + 6x + 9, a = x et b = 3, et 6x = 2 · x · 3 : c'est (x + 3)².

    a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2} + 2ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}

AVEC DES NOMBRES

(x+3)2=x2+6x+9{(x + 3)}^{2} = x^{2} + 6x + 9

a = x et b = 3 : le double produit vaut 2 · x · 3 = 6x.

S'exercer

L'outil ouvre un exercice de factorisation sur cette identité.

IDENTITÉ 2 · CARRÉ D'UNE DIFFÉRENCEPIÈGE · (a − b)² ≠ a² − b²
2 / 3

Le carré d'une différence :

(a−b)2=a2−2ab+b2{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}
FIGURE · LE MÊME CARRÉ, COUPÉ AUTREMENTDeux bandes retirées, un coin rendu.
Un carré de côté a, dont on retire deux bandes ab de largeur b ; elles se recouvrent sur le coin b². Il reste le carré (a − b)².(a − b)²ababb²a − bba − bba

POURQUOI C'EST VRAI

  1. Dans le carré de côté a, retirer les deux bandes de largeur b :

    a2−ab−ab=a2−2aba^{2} - ab - ab = a^{2} - 2ab

  2. Les deux bandes se recouvrent sur le coin b² : retiré deux fois, il faut le rendre une fois.

    (a−b)2=a2−2ab+b2{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

    Le piège : (a − b)² ≠ a² − b². Le b² revient avec un plus, parce qu'on l'avait enlevé deux fois.

  3. Par le calcul, c'est la première identité avec −b à la place de b :

    (a+(−b))2=a2+2a(−b)+(−b)2{(a + {(-b)})}^{2} = a^{2} + 2a{(-b)} + {(-b)}^{2}

  4. Lire à l'envers, pour factoriser : deux carrés, a² et b², et au milieu le double produit de a et b, 2ab, précédé d'un plus ou d'un moins ; ce signe est celui de la parenthèse. Dans 4x² − 20x + 25, a = 2x et b = 5, et 20x = 2 · 2x · 5 : c'est (2x − 5)².

    a2−2ab+b2=(a−b)2a^{2} - 2ab + b^{2} = {(a - b)}^{2}

AVEC DES NOMBRES

(2x−5)2=4x2−20x+25{(2x - 5)}^{2} = 4x^{2} - 20x + 25

a = 2x et b = 5 : le double produit vaut 2 · 2x · 5 = 20x. Le carré de 2x est 4x², pas 2x².

S'exercer

L'outil ouvre un exercice de factorisation sur cette identité.

IDENTITÉ 3 · DIFFÉRENCE DE CARRÉSPIÈGE · a² − b² ≠ (a − b)²
3 / 3

Une différence de carrés :

(a+b)(a−b)=a2−b2{(a + b)}{(a - b)} = a^{2} - b^{2}
FIGURE · L'ÉQUERRE DEVIENT UN RECTANGLEMême aire, deux formes.
À gauche, l'équerre qui reste quand on retire le carré b² du coin du carré a², coupée en deux rectangles a(a − b) et b(a − b) ; à droite, les deux rectangles côte à côte, de côtés a + b et a − b.b(a − b)a(a − b)b²a − bba=a(a − b)b(a − b)aba − b

POURQUOI C'EST VRAI

  1. Retirer le carré b² du coin du carré a² : il reste une équerre.

    a2−b2a^{2} - b^{2}

  2. Couper l'équerre en deux rectangles et les poser côte à côte :

    a(a−b)+b(a−b)a{(a - b)} + b{(a - b)}

  3. Le rectangle obtenu mesure a + b sur a − b : on met (a − b) en facteur.

    a2−b2=(a+b)(a−b)a^{2} - b^{2} = {(a + b)}{(a - b)}

    Le piège : a² − b² ≠ (a − b)². Une différence de carrés n'est pas le carré d'une différence.

  4. Par le calcul, en distribuant : les termes croisés −ab et ab s'annulent.

    (a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2{(a + b)}{(a - b)} = a^{2} - ab + ab - b^{2}

  5. Pour factoriser, reconnaître cette forme : deux carrés séparés par un moins. Dans x² − 16, a = x et b = 4 :

    x2−16=(x+4)(x−4)x^{2} - 16 = {(x + 4)}{(x - 4)}

AVEC DES NOMBRES

(x+4)(x−4)=x2−16{(x + 4)}{(x - 4)} = x^{2} - 16

a = x et b = 4 : les termes croisés 4x et −4x s'annulent.

S'exercer

L'outil ouvre un exercice de factorisation sur cette identité.