LimpideOUTILS · EXERCICES VÉRIFIÉS

Le théorème de Pythagore.

Une formule que tout le monde connaît. Une figure montre pourquoi elle est vraie, et quel côté est c.

THÉORÈME · TRIANGLE RECTANGLEPIÈGE · b² ≠ a² + c²

Dans un triangle rectangle d'hypoténuse c :

a2+b2=c2a^{2} + b^{2} = c^{2}
FIGURE · QUATRE TRIANGLES, DEUX RANGEMENTSMême carré, mêmes triangles : il reste la même aire.
Deux carrés de côté a + b, chacun avec quatre copies du triangle rectangle de cathètes a et b et d'hypoténuse c. À gauche, les triangles occupent les coins et laissent au milieu le carré c², construit sur l'hypoténuse. À droite, ils forment deux rectangles ab et laissent les carrés a² et b², construits sur les cathètes.c²cabbaa²b²abab

POURQUOI C'EST VRAI

  1. À gauche, les quatre triangles occupent les coins du carré de côté a + b. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle font 90° ensemble, donc il reste au milieu un carré, construit sur l'hypoténuse :

    (a+b)2=4⋅ab2+c2{(a + b)}^{2} = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^{2}

  2. À droite, les mêmes triangles, rangés deux par deux en rectangles, laissent les carrés construits sur les cathètes :

    (a+b)2=4⋅ab2+a2+b2{(a + b)}^{2} = 4 \cdot \frac{ab}{2} + a^{2} + b^{2}

  3. Le même carré, moins les mêmes quatre triangles : ce qui reste a la même aire.

    c2=a2+b2c^{2} = a^{2} + b^{2}

    Le piège : c n'est pas n'importe quel côté, c'est l'hypoténuse, en face de l'angle droit. Pour trouver une cathète, on soustrait : b² = c² − a².

AVEC DES NOMBRES

b2=132−52=169−25=144=122b^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12^{2}

c = 13 est l'hypoténuse et a = 5 une cathète : l'inconnue b est l'autre cathète, donc on soustrait, et b = 12.